[ Pobierz całość w formacie PDF ]

po 9 latach, jeżeli odsetki dopisywane są co kwartał?
Rozwiązanie:
Korzystamy z K = K0 (1 + p)n
spis treści
K0= 4000
wzory
Odsetki są dopisywane co kwartał (trzy miesiące) czyli 4 razy w roku. 8% w skali roku
symbole
oznacza, że co kwartał dopisywane jest tylko 8% : 4 = 2%.
komentarze
2
p = 2% = = 0, 02
100
Odsetki są dopisywane 4 razy w roku, więc w ciągu 9 lat będą dopisywane 4 9 = 36 razy.
n = 36
K = 4000 (1 + 0, 02)36 = 4000 (1, 02)36 H" 4000 2, 0399 = 8159, 6
Odp. Po 9 latach na koncie będzie 8159,6 zł.
mymailtome
matma235@o2.pl
Nieskończony ciąg geometryczny
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
a1
S =
1 - q
spis treści
Wzór jest prawdziwy, jeżeli -1
wzory
symbole
Przykłady:
komentarze
1 1 1 1
1
1 + + + + a1 = 1 q = S = = 21
1
1- 2
2 4 8 2 2
1
1 1 1 1 1 1
3
2
+ + + + a1 = q = S = =
1
1- 4
2 6 18 54 2 3 3
1 1 1
8
8 - 4 + 2 - 1 + - + a1 = 8 q = - S = = 51
1
3
1-(- )
2 4 2 2
mymailtome
matma235@o2.pl
Nieskończony ciąg geometryczny
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
5 4 8
15 + 5 + + 2 + + +
3 5 25
Zamień ułamki okresowe dziesiętne na ułamki zwykłe
spis treści
0, (3) 2, (7) 0, (12) 0, 2(5)
wzory
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
5
15 + 5 + +
3
Rozwiązanie:
spis treści
a1 = 15
wzory
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 q
komentarze
5 = 15 q / : 15
5
q =
15
1
q =
3
1
q = spełnia nierówności: -1
3
a1
Korzystamy z S =
mymailtome
1 - q
matma235@o2.pl
15 2 3 45 1
S = = 15 : = 15 = = 22
1
1 - 3 2 2 2
3
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
4 8
2 + + +
5 25
Rozwiązanie:
spis treści
a1 = 2
wzory
Korzystamy z definicji
symbole
a2 = a1 q
komentarze
4
= 2 q / : 2
5
4
q = : 2
5
4 1 4 2
q = = =
5 2 10 5
2
q = spełnia nierówności: -1
5
a1
mymailtome
Korzystamy z S =
matma235@o2.pl
1 - q
2 3 5 10 1
S = = 2 : = 2 = = 3
2
1 - 5 3 3 3
5
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, (3)
Rozwiązanie:
spis treści
0, (3) = 0, 3333 . . .
wzory
symbole
= 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 +
komentarze 3 3 3 3
= + + + +
10 100 1000 10000
Otrzymaliśmy nieskończony ciąg geometryczny
3
a1 =
10
3 1 3 1
= dlatego q =
10 10 100 10
mymailtome
a1
matma235@o2.pl
Korzystamy z S =
1 - q
3
3 9 3 10 3 1
10
S = = : = = =
1
1 - 10 10 10 9 9 3
10
1
Odp. 0,(3)=
3
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
2, (7)
Rozwiązanie:
spis treści
2, (7) = 2, 7777 . . .
wzory
symbole
= 2 + 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + 0, 0007 +
komentarze 7 7 7 7
= 2 + + + + +
10 100 1000 10000
nieskończony ciąg geometryczny
7
a1 =
10
7 1 7 1
= dlatego q =
10 10 100 10
mymailtome
a1
matma235@o2.pl Korzystamy z S =
1 - q
7
7 9 7 10 7
10
S = = : = =
1
1 - 10 10 10 9 9
10
7 7
2, (7) = 2 + = 2
9 9
Odp. 2, (7) = 27
9
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, (12)
Rozwiązanie:
spis treści
0, (12) = 0, 121212 . . .
wzory
symbole
= 0, 12 + 0, 0012 + 0, 000012 +
komentarze 12 12 12
= + + +
100 10000 1000000
Otrzymaliśmy nieskończony ciąg geometryczny
12
a1 =
100
12 1 12 1
= dlatego q =
100 100 10000 100
mymailtome
a1
matma235@o2.pl
Korzystamy z S =
1 - q
12
12 99 12 100 12
100
S = = : = =
1
1 - 100 100 100 99 99
100
12
Odp. 0,(12)=
99
Zamień ułamek okresowy dziesiętny na ułamek zwykły
0, 2(5)
Rozwiązanie:
spis treści
0, 2(5) = 0, 25555 . . .
wzory
symbole
= 0, 2 + 0, 05 + 0, 005 + 0, 0005 + 0, 00005 +
komentarze 2 5 5 5 5
= + + + + +
10 100 1000 10000 100000
nieskończony ciąg geometryczny
5
a1 =
100
5 1 5 1
= dlatego q =
100 10 1000 10
mymailtome
a1
matma235@o2.pl Korzystamy z S =
1 - q
5
5 9 5 10 5 1
100
S = = : = = =
1
1 - 100 10 100 9 90 18
10
2 1 36 10 46 23
0, 2(5) = + = + = =
10 18 180 180 180 90
23
Odp. 0,2(5)=
90
Proste granice
Przykłady granic, których wynik jest oczywisty.
lim n = " dla 3n2, 5n3, 8n5, n7, . . . też "
n!"
spis treści
lim (-n) = -" dla -3n2, -5n3, -8n5, -n7, . . . też -"
n!"
wzory
1 -2 3 8 -9
symbole
lim = 0 dla , , , , . . . też 0
n!"
n n n2 n n3
komentarze
n n
1 5
lim 2n = " dla 8n, 2n, 1 , , . . . też "
n!"
3 4
n n
1 2 3 -4
lim = 0 dla - , (0, 3)n, , , . . . też 0
n!"
2 3 5n 7n
mymailtome
matma235@o2.pl
Odgadywanie prostych granic
ciąg granica
lim n = " 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . "
n!"
spis treści
lim (-n) = " -1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . -"
n!"
wzory
symbole
1 1 1 1 1 1 1
lim = 0 , , , , , , . . . 0
komentarze n!"
n 1 2 3 4 5 6
lim 2n = " 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . . "
n!"
n
1 1 1 1 1 1 1
lim = 0 , , , , , , . . . 0
n!"
2 2 4 8 16 32 64
mymailtome
matma235@o2.pl
Granica ciągu
Oblicz granice:
2 4 3
lim lim lim
n!" n!" - 2n n2 + 5n
n!"
n + 4 6
Oblicz granice:
spis treści
5n2 + 3n - 2 4n + 2 n5 - 2n3 + 5
lim lim lim
wzory
n!" n!" - 2n + 4 n3
n!" - n + 2
2n2 + 5 7n2
symbole
Oblicz granice:
komentarze
2n + 4n 8n - 5 4n+1 + 5 3n
lim lim lim
n!" n!" n!" [ Pobierz całość w formacie PDF ]




 

Powered by WordPress dla [Nie kocha się ojca ani matki ani żony ani dzieca, lecz kocha się przyjemne uczucia, które w nas wzbudzają]. Design by Free WordPress Themes.